問題:48校の中学がテニスでトーナメント戦を行った。総試合数はいくつですか。
知らないといちいち数える必要のあるトーナメントの総試合数。知っていれば低学年の小学生でも一秒かからず答えが出ます。今回はそんなの知ってるよという受験生のために三人一組の場合はどうなるかについても記載しました。
解説
中学の数を減らして考えてみましょう。
2校のとき:1試合
3校のとき:2試合
4校のとき:3試合
これを繰り返していくと
出場校数 － 1 ＝ 総試合数
ということ法則があることがわかります。従って、48-1=47通り。
何故成立するのか
数学を使ってガチで説明することも考えたのですが、算数の解説なのでやめておきます。さて、なぜ成立するのかというと次のことに着目してみるとわかりやすいと思います。
・一試合につき一校のみ敗退する
・必ず一校のみ優勝する
敗退が発生するということは、試合があったということになります。つまり
敗退した数 = 試合数
ということです。そして、優勝した中学は敗退しません。この優勝校こそが先ほどの式の-1なのです。わからなかったら難関校を志望しない場合に限り上の公式だけ覚えておけば問題ありません。算数は証明をする必要が無いので(本当に極稀に最難関校で出ることがあるけど)。因みに、一対一で必ず勝敗が決まるという条件ならどのようなトーナメント表を作っても必ず成立します。
応用
243人の生徒がじゃんけん大会を行った。大会の方法は三人一組を作り、その中で勝者が一人になるまでじゃんけんを行う。この作業を「試合」と呼び、勝者が決まることを1試合として数え、じゃんけんの試行回数は関係ないものとする。その後、勝者のみを集め、同様に勝者を決める。これを繰り返して優勝者を決める。この時、優勝者が決まるまでに必要な試合の回数は何回か。
2019年桜陰中学改題 制限時間:1分
解説
敗北者は一回の試合で2人出ます。また、敗北者は最終的に242人いることになります。したがって
(243 ー 1) ÷ ２ ＝121
より121回。また、三人ではなく四人、五人と増やしていった場合もを考えると以下の式も成り立つことが考えられます。
(全体人数 － 1) ÷ 一試合で脱落する人数 = 試合数
検証してみるとわかるかと思いますが、優勝者を決める試合で人数不足が発生しないなら、どこかであまりが起こってシードが発生する場合もこの式は成り立ちます。
因みにこの問題は問一であるため、この後に問二、問三があります。算数に自信があるなら解いてみよう!(といっても問二はもう答え書いてあるようなもんだけど)
にほんブログ村
